Question

如圖所示，點G是△ABC的重心，GA⊥GB，AB=5，則AC²+BC²的值為

 

．

Answer 1

考點：三角形的重心

專題：計算題

分析：延長AG交BC于E，延長BG交AC于D，如圖，根據(jù)重心的定義得到AD=

1

2

AC，BE=

1

2

BC，再利用勾股定理得AD²=AG²+GD²，BE²=BG²+GE²，則AD²+BE²=AG²+GD²+BG²+GE²，再根據(jù)重心的性質(zhì)得GD=

1

2

BG，GE=

1

2

AG，所以AD²+BE²=

5

4

（AG²+BG²）=

5

4

•AB²=

125

4

，于是AC²+BC²=4AD²+4BE²=125．

解答：解：延長AG交BC于E，延長BG交AC于D，如圖，
∵點G是△ABC的重心，
∴AE和BD為△ABC的中線，即AD=

1

2

AC，BE=

1

2

BC，
∵GA⊥GB，
∴∠AGB=90°，
在Rt△AGD中，AD²=AG²+GD²，
在Rt△BGE中，BE²=BG²+GE²，
∴AD²+BE²=AG²+GD²+BG²+GE²，
∵點G是△ABC的重心，
∴GD=

1

2

BG，GE=

1

2

AG，
∴AD²+BE²=AG²+

1

4

BG²+BG²+

1

4

AG²
=

5

4

（AG²+BG²）
=

5

4

•AB²
=

5

4

•25
=

125

4

，
∴AC²+BC²=4AD²+4BE²=4•

125

4

=125．
故答案為125．

點評：本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點．重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了勾股定理．