Question

已知在△ABC中，∠ABC=45°，高AD所在的直線與高BE所在的直線交于點F，過點F作GF∥BC，交直線AB于點G，連接CF．
（1）△ABC銳角三角形時，求證：AD=GF+CD；
（2）當∠BAC是鈍角時．
①寫出線段AD、CD、GF三者之間數(shù)量關(guān)系．（不必寫出證明過程，直接寫出結(jié)論）；
②當BE=FE，BD=4時，求FG的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證AD=BD，∠DBF=∠CAD，即可證明△ACD≌△BFD，可得DF=DC，根據(jù)AD=AF+DF即可解題；
（2）①易證AD=BD，∠DBF=∠CAD，即可證明△ACD≌△BFD，可得DF=DC，根據(jù)AF=AD+DF即可解題；
②易證AE垂直平分BF，可得AB=AF，根據(jù)BD可求得AB的長，即可解題．

解答：證明：（1）∵∠ABD=45°，AD⊥BD，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴AF=FG，
∵∠DBF+∠BFD=90°，∠AFE+∠CAD=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠DBF=∠CAD，
在△ACD和△BFD中，

∠DBF=∠CAD AD=BD ∠BDF=∠ADC=90°

，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DF=DC，
∵AD=AF+DF，
∴AD=GF+CD；
（2）①作出圖形，

∵∠ABD=45°，AD⊥BD，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴AF=FG，
∵∠DBF+∠BFD=90°，∠AFE+∠CAD=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠DBF=∠CAD，
在△ACD和△BFD中，

∠DBF=∠CAD AD=BD ∠BDF=∠ADC=90°

，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DF=DC，
∵AF=AD+DF，
∴FG=AD+CD；
②∵BE=EF，AE⊥BF，
∴AE垂直平分BF，
∴AB=AF，
∵BD=4，
∴AB=4

2

，
∴FG=AF=AB=4

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BFD是解題的關(guān)鍵．