Question

6．如圖，點C為△ABD的外接圓上的一動點（點C不在$\widehat{BAD}$上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求證：BD是該外接圓的直徑；
（2）連結CD，求證：$\sqrt{2}$AC=BC+CD；
（3）若△ABC關于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM²，AM²，BM²三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）要證明BD是該外接圓的直徑，只需要證明∠BAD是直角即可，又因為∠ABD=45°，所以需要證明∠ADB=45°；
（2）在CD延長線上截取DE=BC，連接EA，只需要證明△EAC是等腰直角三角形即可得出結論；
（3）過點M作MF⊥MB于點M，過點A作AF⊥MA于點A，MF與AF交于點F，證明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=$\sqrt{2}$AM，然后再證明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根據勾股定理即可得出DM²，AM²，BM²三者之間的數(shù)量關系．

解答 解：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圓的直徑；

（2）在CD的延長線上截取DE=BC，
連接EA，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC與△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AD}$
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴$\sqrt{2}$AC=CE，
∴$\sqrt{2}$AC=CD+DE=CD+BC；

（3）過點M作MF⊥MB于點M，過點A作AF⊥MA于點A，MF與AF交于點F，連接BF，
由對稱性可知：∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=$\sqrt{2}$AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF與△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠FAB=∠MAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，
∵BM²+MF²=BF²，
∴BM²+2AM²=DM²．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，等腰三角形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理等知識，綜合程度較高，解決本題的關鍵就是構造等腰直角三角形．