Question

5．【探究證明】
（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請你給出證明．
如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H．求證：$\frac{EF}{GH}$=$\frac{AD}{AB}$；
【結(jié)論應(yīng)用】
（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若$\frac{EF}{GH}$=$\frac{11}{15}$，則$\frac{BN}{AM}$的值為$\frac{11}{15}$；
【聯(lián)系拓展】
（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求$\frac{DN}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AP∥EF，交CD于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；
（2）只需運(yùn)用（1）中的結(jié)論，就可得到$\frac{EF}{GH}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BN}{AM}$，就可解決問題；
（3）過點(diǎn)D作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，易證四邊形ABSR是矩形，由（1）中的結(jié)論可得$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$．設(shè)SC=x，DS=y，則AR=BS=5+x，RD=10-y，在Rt△CSD中根據(jù)勾股定理可得x²+y²=25①，在Rt△ARD中根據(jù)勾股定理可得（5+x）²+（10-y）²=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，問題得以解決．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AP∥EF，交CD于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴$\frac{AP}{BQ}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{EF}{GH}$=$\frac{AD}{AB}$；

（2）如圖2，
∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的結(jié)論可得$\frac{EF}{GH}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{BN}{AM}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{EF}{GH}$=$\frac{11}{15}$．
故答案為$\frac{11}{15}$；

（3）過點(diǎn)D作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，
則四邊形ABSR是平行四邊形．
∵∠ABC=90°，∴?ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的結(jié)論可得$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$．
設(shè)SC=x，DS=y，則AR=BS=5+x，RD=10-y，
∴在Rt△CSD中，x²+y²=25①，
在Rt△ARD中，（5+x）²+（10-y）²=100②，
由②-①得x=2y-5③，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{x=2y-5}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴AR=5+x=8，
∴$\frac{DN}{AM}$=$\frac{AR}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解二元二次方程組等知識，運(yùn)用（1）中的結(jié)論是解決第（2）、（3）小題的關(guān)鍵．