Question

在△ABC中，∠C=90°，G是內(nèi)心，BG與AC交于D，過D作DE∥AG與BC交BC于E，直線EG與AB交于F，求證：DF⊥AG．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,平行線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：連接CG，易得∠AGD=∠BAG+∠ABG=45°，從而可得∠AGD=∠GDE=∠GCE=45°，由此可得G、D、C、E四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠BGE=∠DCE=90°，根據(jù)圓周角定理可得∠GED=∠GCD=45°，易證∠BFG=∠BEG，則有BE=BF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得FG=GE，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得DE=DF，從而可得∠EDF=90°，根據(jù)AG∥DE就可證到DF⊥AG．

解答：證明：連接CG，如圖．
∵G是△ABC內(nèi)心，
∴∠ACG=∠GCB=

1

2

∠ACB=45°，∠BAG=

1

2

∠CAB，∠ABG=

1

2

∠ABC．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠BAG+∠ABG=

1

2

∠CAB+

1

2

∠ABC=45°，
∴∠AGD=∠BAG+∠ABG=45°．
∵DE∥AG，
∴∠GDE=∠AGD=45°，
∴∠GDE=∠GCE=45°，
∴G、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠GED=∠GCD=45°，∠BGE=∠DCE=90°，
∴∠BFG=90°-∠FBG=90°-∠EBG=∠BEG，
∴BE=BF．
又∵BG⊥EF，
∴FG=GE．
∵BG⊥EF，F(xiàn)G=GE，
∴BD垂直平分EF，
∴DE=DF，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∴∠FDE=90°，即DF⊥DE，
∵AG∥DE，
∴DF⊥AG．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定、三角形的內(nèi)心、平行線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，證到G、D、C、E四點(diǎn)共圓是解決本題的關(guān)鍵．