Question

如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），連結(jié)CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連結(jié)QB并延長交直線AD于點(diǎn)E．
（1）如圖1，猜想∠QEP=

 

°；
（2）如圖2，3，若當(dāng)∠DAC是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想∠QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明；
（3）如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）猜想∠QEP=60°；
（2）以∠DAC是銳角為例進(jìn)行證明，如圖2，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=BC，∠ACB=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CQ，∠PCQ=6O°，則∠ACP=∠BCQ，
根據(jù)“SAS”可證明△ACP≌△BCQ，得到∠APC=∠Q，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠QEP=∠PCQ=60°； 
（3）連結(jié)CQ，作CH⊥AD于H，如圖3，與（2）一樣可證明△ACP≌△BCQ，則AP=BQ，由∠DAC=135°，∠ACP=15°，易得∠APC=30°，∠PCB=45°，則可判斷△ACH為等腰直角三角形，所以AH=CH=

2

2

AC=2

2

，在Rt△PHC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得PH=

3

CH=2

6

，于是可計(jì)算出PA=PH-AH=2

6

-2

2

，所以BQ=2

6

-2

2

．

解答：解：（1）∠QEP=60°；
證明：連接PQ，
∵PC=CQ，且∠PCQ=60°，
則△CQB和△CPA中，

PC=QC ∠PCQ=∠ACB AC=BC

，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB=∠CPA，
又因?yàn)椤鱌EM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，
∴∠QEP=∠QCP=60°．
故答案為：60；

（2）∠QEP=60°．以∠DAC是銳角為例．
證明：如圖2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，

CA=CB ∠ACP=∠BCQ CP=CQ

，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°； 

（3）連結(jié)CQ，作CH⊥AD于H，如圖3，
與（2）一樣可證明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，
∴∠APC=30°，∠PCB=45°，
∴△ACH為等腰直角三角形，
∴AH=CH=

2

2

AC=

2

2

×4=2

2

，
在Rt△PHC中，PH=

3

CH=2

6

，
∴PA=PH-AH=2

6

-2

2

，
∴BQ=2

6

-2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．