Question

7．如圖，在△ABC中，∠A=m°．
（1）如圖①，當(dāng)O是△ABC的內(nèi)心時(shí)，求∠BOC的度數(shù)；
（2）如圖②，當(dāng)O是△ABC的外心時(shí)，求∠BOC的度數(shù)；
（3）如圖③，當(dāng)O是高線BD與CE的交點(diǎn)時(shí)，求∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)O為△ABC的內(nèi)心得到∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m°得到$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90$°-\frac{1}{2}m°$，從而求得∠OBC+∠OCB=90$°-\frac{1}{2}m°$，進(jìn)一步求得∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90$°+\frac{1}{2}m°$；
（2）根據(jù)圓周角定理直接利用∠A的度數(shù)求得∠BOC的度數(shù)即可；
（3）連接AO，并延長(zhǎng)與BC邊相交于點(diǎn)F，則AF⊥BC，易得∠ABD=∠ACE=90°-∠BAC=90°-m°，由外角的性質(zhì)可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m°，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°$-\frac{1}{2}m°$，
即∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}m°$，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°$+\frac{1}{2}m°$；

（2）∵點(diǎn)O為△ABC的外心，
∴由圓周角定理得：∠BOC=2∠A=2m°；

（3）連接AO，并延長(zhǎng)與BC邊相交于點(diǎn)F，則AF⊥BC，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD=∠ACE=90°-∠BAC=90°-m°，
∴∠BOC=∠BOF+∠COF=∠BAF+∠ABD+∠CAF+∠ACE=∠ABD+∠BAC+∠ACE=2×（90°-m°）+m°=180°-m°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的五心的知識(shí)及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形得出外接圓與外心，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．