Question

如圖（1），MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上一點P，且PD=PB．

（1）求證：AB=CD；
（2）如圖（2）若AB、CD相交于MN延長線上一點P，其他條件不變，則AB=CD還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

考點：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關系

專題：

分析：（1）先由相交弦定理得出PA•PB=PC•PD，而PD=PB，所以PA=PC，然后根據(jù)等式的性質(zhì)即可證明AB=CD；
（2）先由切割線定理得出PB•PA=PD•PC，而PD=PB，所以PA=PC，然后根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出AB=CD．

解答：（1）證明：∵MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上一點P，
∴PA•PB=PC•PD，
∵PD=PB，
∴PA=PC，
∴PA+PB=PC+PD，
即AB=CD；

（2）解：AB=CD還成立．理由如下：
∵AB、CD相交于NM延長線上一點P，
∴PB•PA=PD•PC，
∵PD=PB，
∴PA=PC，
∴PA-PB=PC-PD，
即AB=CD．

點評：本題考查了相交弦定理，切割線定理以及等式的性質(zhì)，得出PA=PC是解題的關鍵．