Question

如圖，直線y=

4

3

x+4，交x軸于點A，交y軸于點B，點P從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B勻速運動，伴隨著P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點P到達點A時停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）
（1）當(dāng)t=2時，AP=

 

，QF=

 

；
（2）證明：△QFP∽△POE；
（3）請表示出Q，E的坐標(biāo)，并寫出過程；
（4）在運動過程中，是否存在t使得以點B，Q，E為頂點的三角形與△ABO相似？若存在請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由y=

4

3

x+4可求得AO=3，BO=4，所以當(dāng)t=2時，可求出AP=AO-PO=3-2=1，而AQ=4，由條件可知QF∥BO，所以可知

AQ

AB

=

QF

OB

，代入可求得QF；
（2）由QP⊥PE，PF⊥AO，可得∠QPF=∠PEO，結(jié)合直角可證明相似；
（3）由sin∠BAO=

BO

AB

=

QF

AQ

=

4

5

，且AQ=2t，代入可表示出QF，進一步可求得AF，則可表示出Q點的坐標(biāo)，再利用（2）中的相似可得

QF

PO

=

PF

EO

，代入可表示出E點的坐標(biāo)；
（4）因為△ABO為直角三角形，所以BQE也為直角三角形，有兩種情況即Q為直角頂點和E為直角頂點，利用對應(yīng)邊的比相等代入求t即可．

解答：（1）解：由y=

4

3

x+4可求得AO=3，BO=4，由勾股定理可得AB=5，
當(dāng)t=2時，則有AP=AO-PO=3-2=1，而AQ=4，
由條件可知QF∥BO，
所以

AQ

AB

=

QF

OB

，
所以

4

5

=

QF

4

，
解得QF=

16

5

，
故答案為：1；

16

5

；

（2）證明：
∵QP⊥PE，PF⊥AO，
∴∠PFP=∠POE，
且∠FPQ+∠EPO=∠PEO+∠EPO=90°，
∴∠QPF=∠PEO，
∴△QFP∽△POE；

（3）解：
在Rt△ABO和Rt△AQF中，sin∠BAO=

BO

AB

=

QF

AQ

=

4

5

，且AQ=2t，
∴

QF

2t

=

4

5

，
∴QF=

8t

5

，
∵

QF

AF

=

BO

AO

=tan∠BAO，
∴

8t 5

AF

=

4

3

，
∴AF=

6t

5

，且AO=3，
∴OF=AO-AF=3-

6t

5

，
∴Q點的坐標(biāo)為（

6t

5

-3，

8t

5

），
由△QFP∽△POE可得

QF

PO

=

PF

OE

，
∵PO=t，∴PF=OF-PO=3-

6t

5

-t=3-

11t

5

，
∴

8t 5

t

=

3- 11t 5

OE

，
∴OE=

15-11t

8

，
∴E點坐標(biāo)為（0，

15-11t

8

）；

（4）解：
假設(shè)存在滿足條件的t，分兩種情況：
①當(dāng)Q為直角頂點時，則有

BQ

BO

=

BE

BA

，
由（3）可知BE=4-OE=4-

15-11t

8

=

17-11t

8

，BQ=AB-AQ=5-2t，
代入可得：

5-2t

4

=

17-11t 8

5

，
可解得t=

11

3

，
而由題意，當(dāng)Q到達B點時的時間為t=

5

2

=2.5，即0≤t≤2.5，而

11

3

＞2.5，故該種情況符合條件的t不存在；
②當(dāng)E為直角頂點時，則有

BQ

BA

=

BE

BO

，同樣代入可得：

5-2t

5

=

17-11t 8

4

，解得t=

25

3

＞2.5，故也不符合條件；
綜上可知不存在使以點B，Q，E為頂點的三角形與△ABO相似的t的值．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意用t表示出線段長度則可化動為靜，再利用相似即可找到線段之間的關(guān)系，代入可解決．