Question

10．如圖，AD是⊙O的直徑．
（1）如圖1，垂直于AD的兩條弦B₁C₁，B₂C₂把圓周4等分，則∠B₁的度數(shù)是22.5°，∠B₂的度數(shù)是67.5°；
（2）如圖2，垂直于AD的三條弦B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃把圓周6等分，則∠B₃的度數(shù)是75°；
（3）如圖3，垂直于AD的n條弦B₁C₁，B₂C₂，B₃ C₃，…，B_nC_n把圓周2n等分，則∠B_n的度數(shù)是90°-$\frac{45°}{n}$（用含n的代數(shù)式表示∠B_n的度數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出每條弧的度數(shù)，求出所求的圓周角所對(duì)的弧的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理（圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半）得出即可；
（2）求出每條弧的度數(shù)，求出所求的圓周角所對(duì)的弧的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理（圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半）得出即可；
（3）求出每條弧的度數(shù)，求出所求的圓周角所對(duì)的弧的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理（圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半）得出即可．

解答 解：（1）∵垂直于AD的兩條弦B₁C₁，B₂C₂把圓周4等分，
∴弧B₁C₁、弧C₁C₂、弧B₂C₂、弧B₁B₂的度數(shù)都是90°，弧AB₁=弧AC₁，
∴弧AC₁的度數(shù)是45°，
∴∠B₁=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∠B₂=$\frac{1}{2}$×（45°+90°）=67.5°，
故答案為：22.5°，67.5°；

（2）∵垂直于AD的三條弦B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃把圓周6等分
∴弧B₁C₁、弧C₁C₂、弧C₂C₃的度數(shù)都是60°，弧AB₁=弧AC₁，
∴弧AC₁的度數(shù)是30°，
∴∠B₃=$\frac{1}{2}$×（30°+60°+60°）=75°，
故答案為：75°；

（3）∵垂直于AD的n條弦B₁C₁，B₂C₂，B₃ C₃，…，B_nC_n把圓周2n等分，
∴弧B₁C₁、弧C₁C₂、弧C₂C₃、…的度數(shù)都是（$\frac{360}{2n}$）°=（$\frac{180}{n}$）°，弧AB₁=弧AC₁，
∴弧AC₁的度數(shù)是（$\frac{90}{n}$）°，
∴∠Bn=$\frac{1}{2}$×（$\frac{90}{n}$+$\frac{180}{n}$+$\frac{180}{n}$+…+$\frac{90}{n}$）=$\frac{1}{2}$×[$\frac{（n-1）•180}{n}$+$\frac{90}{n}$]°=90°-$\frac{45°}{n}$
故答案為：90°-$\frac{45°}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)，圓周角等于它所夾弧所對(duì)的圓心角的一半，難度適中．