Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}x+2$的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)為B．
（1）①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA、PC，若△PAC的面積是△ABC面積的$\frac{3}{5}$，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)D，使△ADC為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①由直線過(guò)點(diǎn)A，可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由A、B關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱(chēng)可找出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
②由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）由△PAC的面積是△ABC面積的$\frac{3}{5}$，結(jié)合同底三角形的面積公式即可得出點(diǎn)P到直線AC的距離為點(diǎn)B到直線AC的距離的$\frac{3}{5}$，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離可列出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式用n表示出各邊長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理分別討論即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①令y=-$\frac{1}{2}x+2$=0，解得：x=4，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
∵A、B關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
②令x=0，則y=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}x+2$，即$\frac{1}{2}$x+y-2=0，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2），
∵點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，
∴0＜m＜4．
∵△PAC的面積是△ABC面積的$\frac{3}{5}$，
∴點(diǎn)P到直線AC的距離為點(diǎn)B到直線AC的距離的$\frac{3}{5}$．
由點(diǎn)到直線的距離可知：|$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2-2|=$\frac{3}{5}$|-$\frac{1}{2}$-2|，
即m²-4m+3=0，解得：m₁=1，m₂=3．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）或（3，2）．
（3）假設(shè)存在，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，n）．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：AC=$\sqrt{{4}^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{（\frac{3}{2}-4）^{2}+{n}^{2}}$，CD=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（n-2）^{2}}$，
△ADC為直角三角形分三種情況：
①AC²+AD²=CD²，此時(shí)有4n=-20，
解得：n=-5，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-5）；
②AC²+CD²=AD²，此時(shí)有20-4n=0，
解得：n=5，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，5）；
③AD²+CD²=AC²，此時(shí)有4n²-8n-15=0，
解得：n=1±$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）和（$\frac{3}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．
綜上可知：在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)D，使△ADC為直角三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-5）、（$\frac{3}{2}$，5）、（$\frac{3}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）和（$\frac{3}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求解析式、點(diǎn)到直線的距離以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是（1）待定系數(shù)法求解析式；（2）結(jié)合點(diǎn)到直線的距離列出關(guān)于m的一元二次方程；（3）結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理得出關(guān)于n的方程．本題屬于中檔題，（1）難度不大，（2）可以借助點(diǎn)到直線的距離找出關(guān)于m的一元二次方程來(lái)解決問(wèn)題，（3）分情況討論找出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)．