Question

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF的頂點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)F在射線CB上．設(shè)CD=x，正方形CDEF與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示（其中0＜x≤m，m＜x≤2，2＜x≤n，函數(shù)的解析式不同）
（1）填空：m的值為$\frac{3}{2}$；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）S的值能否為5？若能，求出此時(shí)x的值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象信息列出方程：m²=$\frac{9}{4}$即可解決．
（2）分三種情形討論：①0＜x≤$\frac{3}{2}$，②$\frac{3}{2}$＜x≤2，③2＜x≤6，分別畫出圖象求出s與x的關(guān)系即可．
（3）利用（2）的結(jié)論列出方程解決即可．

解答 解：（1）在0＜x≤m時(shí)，顯然正方形在三角形內(nèi)，
此時(shí)S=CD•CF=x²．
令S=$\frac{9}{4}$，即$\frac{9}{4}$=m²，
解得：m=$\frac{3}{2}$，或m=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
故答案為：$\frac{3}{2}$．
（2）結(jié)合S關(guān)于x的函數(shù)圖象變化可知：
BC=2，當(dāng)CD=DE=$\frac{3}{2}$時(shí)，點(diǎn)E在線段AB上．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}$，即$\frac{AC-\frac{3}{2}}{AC}=\frac{\frac{3}{2}}{2}$，
解得：AC=6．
∴n=6．
①當(dāng)0＜x≤$\frac{3}{2}$時(shí)，S=x²；
②當(dāng)$\frac{3}{2}$＜x≤2時(shí)，如圖1中，

∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{CB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{DM}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$（6-x），EM=ED-DM=$\frac{4}{3}$x-2，
由△NEM∽△ACB得到$\frac{NE}{AC}=\frac{EM}{BC}$，∴NE=3EM=4x-6，
∴s=S_{正方形CDEF}-S_△MNE=x²-$\frac{（4x-6）^{2}}{6}$．
③2＜x≤6時(shí)，如圖2中，

s=S_△ABC-S_△ADM=6-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$（6-x）•（6-x）=6-$\frac{（6-x）^{2}}{6}$．
綜上所述s=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{（0＜x≤\frac{3}{2}）}\\{{x}^{2}-\frac{（4x-6）^{2}}{6}}&{（\frac{3}{2}＜x≤2）}\\{6-\frac{（6-x）^{2}}{6}}&{（2＜x≤6）}\end{array}\right.$，
（3）由圖象可知O＜x≤2時(shí)，s不可能為5，
∴6-$\frac{（6-x）^{2}}{6}$=5，
∴（6-x）²=6，
∴x=6-$\sqrt{6}$（或6+$\sqrt{6}$不合題意舍棄）．
∴x=6-$\sqrt{6}$時(shí)，s=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象問(wèn)題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，需要正確畫出圖形，分段討論，解題的關(guān)鍵利用相似三角形的性質(zhì)，求出相應(yīng)的線段，屬于中考�？碱}型．