Question

14．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，連結(jié)EC，且∠BCE=∠BAC．
（1）求證：EC是⊙O的切線(xiàn)．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥EC交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，若AD=5，DE=12，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到EC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ADE中利用勾股定理計(jì)算出AE=13，則OE=13-r，OC=r，證明△EOC∽△EAD，利用相似比得到$\frac{OC}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$，即$\frac{r}{5}$=$\frac{13-r}{13}$，然后解方程即可得到圓的半徑．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC，
又∵∠BCE=∠BAC，
∴∠BCE=∠OCA，
∴∠BCE+∠BCO=90°，
∴OC⊥EC，
∴EC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△ADE中，AD=5，ED=12，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=13，
∴OE=13-r，OC=r
∵OC⊥EC，
∵AD⊥EC，
∴OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$，即$\frac{r}{5}$=$\frac{13-r}{13}$，
∴r=$\frac{65}{18}$，
即⊙O的半徑為$\frac{65}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．