Question

9．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：△AFE≌△DBE；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF是不是菱形？若是，證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AFE=∠DBE，然后利用AAS判定△AFE≌△DBE即可；
（2）首先證明四邊形ADCF是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，進而可得四邊形ADCF是菱形．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）解：四邊形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AFE≌△DBE，
∴AF=BD，
∵AD是斜邊BC的中線，
∴BD=DC
∴AF=DC．
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，全等三角形對應(yīng)邊相等．