Question

4．如圖1，?ABCD 中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F．
（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；
（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索．連接AF、CE，分別交BE、FD于點(diǎn)G、H，得到四邊形EGFH．此時(shí)，他猜想四邊形EGFH是平行四邊形，請(qǐng)?jiān)诳驁D（圖2）中補(bǔ)全他的證明思路．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC，由角平分線得出∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．證出EB∥DF，即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出BE∥DF，DE=BF，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，得出GF∥EH，即可證出四邊形EGFH是平行四邊形．

解答 （1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC．
∵∠ABC=∠ADC．
∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC．
∴∠AEB=∠ADF．
∴EB∥DF．
∵ED∥BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形．
（2）解：補(bǔ)全思路：GF∥EH，AE∥CF；理由如下：
∵四邊形EBFD是平行四邊形；
∴BE∥DF，DE=BF，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴GF∥EH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明EB∥DF和四邊形AFCE是平行四邊形，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．