Question

已知拋物線C₁：y₁=a₁x²+b₁x+c₁，C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂，且滿足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k（k≠0，1），則稱拋物線C₁，C₂互為“友好拋物線”．關(guān)于“友好拋物線”有以下說法：①C₁，C₂開口方向、開口大小相同；②C₁，C₂的對稱軸相同；③如果y₂的最值為m，則y₁的最值為km；④如果C₂與x軸的兩交點間距離為d，則C₁與x軸的兩交點間距離也為d．其中正確的結(jié)論是

 

（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：新定義

分析：當(dāng)k＜0時，可判斷①；由

a1

a2

=

b1

b2

可得到

a1

b1

=

a2

b2

，可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的最值，可分別求得y₂和y₁的最值，再結(jié)合條件可判斷③；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出與X軸的兩交點的距離|g-e|和|d-m|，即可判斷④．

解答：解：由已知可知：a₁=ka₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，
①根據(jù)友好拋物線的條件，a₁、a₂的符號不一定相同，所以開口方向、開口大小不一定相同，故①不正確；
②由

a1

a2

=

b1

b2

可得到

a1

b1

=

a2

b2

，所以可知其對稱軸相同，故②正確；
③因為如果y₂的最值是m，則y₁的最值是

4a1c1- b 2 1

4a1

=k•

4a2b2- b 2 2

4a2

=km，故③正確；
④因為設(shè)直線y₁于x軸的交點坐標(biāo)是（e，f），（g，h），則e+g=-

b1

a1

，eg=

c1

a1

，
直線y₂于x軸的交點坐標(biāo)是（m，n），（d，p），則m+d=-

b2

a2

，md=

c2

a2

，
可求得：d=|g-e|=

(e+g)2-4eg

=

b 2 1 -4a1c1

a1

=

k2 b 2 2 -k24a2c2

ka2

=

b 2 2 -4a2c2

a2

=|d-m|，故④正確；
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的對稱軸、開口方向、最值等，由條件得出a₁=ka₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂是解題的關(guān)鍵．