Question

6．如圖，⊙O₁與⊙O₂外離，O₁C是∠AO₁B的角平分線，O₁C經(jīng)過點O₂，O₁A切⊙O₂于點E，交⊙O₁于點G．
（1）求證：O₁B是⊙O₂的切線；
（2）過O₂作⊙O₁的切線O₂D（D為切點），交⊙O₂于點F，判斷GF與O₁O₂的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）連接EO₂，作O₂M⊥O₁B，垂足為M，利用角平分線性質只要證明O₂E=O₂M即可．
（2）利用相似三角形性質只要證明$\frac{OG}{O{O}_{1}}$=$\frac{OF}{O{O}_{2}}$即可．

解答 （1）證明：連接EO₂，作O₂M⊥O₁B，垂足為M．
∵O₁A是⊙O₂切線，
∴O₂E⊥O₁A，
∵O₁O₂平分∠AO₁B，
∴O₂E=O₂M，
∴O₁B是⊙O₂的切線．
（2）結論：FG∥O₁O₂，理由如下，
連接O₁D，DG，EF，
∵O₂D，O₁A是切線，
∴O₁D⊥OD，O₂E⊥OE，
∴∠O₁DO=∠O₂EO，
∵∠DOG=∠EOF，∠DO₁O+∠DOG=90°，∠EO₂O+∠EOF=90°，
∴∠DO₁O=∠EO₂O，
∵∠O₁DO=∠O₂EO=90°，
∴△O₁DO∽△O₂EO，
∴$\frac{OD}{O{O}_{1}}$=$\frac{OE}{O{O}_{2}}$，
∴$\frac{DO}{OE}$=$\frac{O{O}_{1}}{O{O}_{2}}$，
∵O₁D=O₁G，O₂E=O₂F，
∴∠O₁DG=∠O₁GD=∠O₂EF=∠O₂FE，
∴∠GDO=∠FOE，
∴△DOG∽△EOF，
∴$\frac{DO}{OG}$=$\frac{OE}{OF}$，
∴$\frac{DO}{OE}$=$\frac{OG}{OF}$，
∴$\frac{O{O}_{1}}{O{O}_{2}}$=$\frac{OG}{OF}$，
∴$\frac{OG}{O{O}_{1}}$=$\frac{OF}{O{O}_{2}}$，
∴FG∥O₁O₂．

點評 本題考查切線的判定和性質、相似三角形的判定和性質、平行線的判定、角平分線的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質解決問題，屬于中考�？碱}型．