Question

17．如圖，AB為⊙O的直徑，CB、CD分別與⊙O相切于B、D，延長BA、CD交于E，連接AD，DE=4，BE=8．
（1）求BC的長；
（2）求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)切線長定理可得CB=CD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ABC=∠ODE=90°，設(shè)BC=x，只需在Rt△EBC中運(yùn)用勾股定理就可解決問題；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=r，OE=8-r，在Rt△ODE中運(yùn)用勾股定理可求出r，然后運(yùn)用面積法可求出DH，然后運(yùn)用勾股定理就可解決問題．

解答 解：（1）連接OD，
∵CB、CD分別與⊙O相切于B、D，
∴CB=CD，∠ABC=∠ODE=90°，
設(shè)BC=x，則DC=x，EC=x+4．
在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理可得
8²+x²=（x+4）²，
解得：x=6，
∴BC的長為6；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，如圖，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=r，OE=8-r．
在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理可得
r²+4²=（8-r）²，
解得r=3．
∵S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•DE=$\frac{1}{2}$OE•DH，
∴DH=$\frac{OD•DE}{OE}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴OH=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，AH=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了切線長定理、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．