Question

3．如圖1，已知拋物線y=a（x-1）²+3$\sqrt{3}$（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)D平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在x軸正半軸上，連結(jié)BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．問：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位長度和2個(gè)單位長度的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)（圖2）．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），連接PQ，是否存在某個(gè)時(shí)刻，四邊形BCPQ的面積最��？如果存在，請求出這個(gè)最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A的坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+3$\sqrt{3}$，可得a的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式易得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，作DE⊥x軸于E，可得DE、AE、AD的長，根據(jù)平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的性質(zhì)，用t將其中的關(guān)系表示出來，并求解可得答案；
（3）易證△OBC是等邊三角形，作PF⊥x軸于F，可得OQ、PF關(guān)于t的關(guān)系式，將四邊形BCPQ的面積用含t的代數(shù)式表示出來，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得四邊形BCPQ面積的最小值及此時(shí)t的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+3$\sqrt{3}$（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），
∴0=a （-2-1）²+3$\sqrt{3}$，
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；

（2）如圖1．∵D為拋物線的頂點(diǎn)，
∴D（1，3$\sqrt{3}$）．
作DE⊥x軸于E，則DE=3$\sqrt{3}$，AE=3，
∴AD=6，∠DAE=60°．
∵OM∥AD，CD∥x軸，
∴四邊形AOCD是平行四邊形，
∴OC=AD=6，CD=OA=2，∠DCO=∠DAE=60°．
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，四邊形DAOP是平行四邊形，
∴OP₁=OC=6，t=6s；
②當(dāng)DP⊥OM時(shí)，四邊形DAOP是直角梯形，
∵在Rt△CDP₂中，CD=2，∠DCO=60°，
∴CP₂=1，
∴OP₂=OC-CP₂=6-1=5，t=5s；
③當(dāng)PD=OA時(shí)，四邊形DAOP是等腰梯形，
∵CD=OA=2，∠DCO=60°，
∴△CDP₃為等邊三角形，
∴CP₃=CD=2，
∴OP₃=OC-CP₃=6-2=4，t=4s．
綜上所述：當(dāng)t分別等于6s、5s、4s時(shí)，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；

（3）存在某個(gè)時(shí)刻，能夠使四邊形BCPQ的面積最小．理由如下：
∵OM∥AD，
∴∠COB=∠DAE=60°．
∵OC=OB，
∴△OCB是等邊三角形，
∴OB=OC=6．
∵OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）．
如圖2，作PF⊥x軸于F，則PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S_{四邊形BCPQ}=S_△OCB-S_△OPQ
=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（6-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63\sqrt{3}}{8}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0，
∴當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，S_{四邊形BCPQ最小}=$\frac{63\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形、四邊形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．