Question

2．某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對角線交點O旋轉（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．
（1）該學習小組中一名成員意外地發(fā)現(xiàn)：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN²=CD²+CN²；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，BN、CN、CD之間的關系CN²=CD²+BN²．
（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．
（3）若AB=8，BC=10，是否存在某一旋轉位置，使得CM+CN等于$\frac{44}{5}$？若存在，請求出此時DM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形和三角板的特點，得到OB=OD，∠DON=90°利用勾股定理，即可；
（2）由四邊形ABCD為矩形和三角板的特點，得出結論，判斷出△BON≌△DOP，再利用勾股定理，即可；
（3）由矩形和三角板的特點以及旋轉的性質(zhì)得到，MP=MN，利用勾股定理，然后用CM+CN=$\frac{44}{5}$，即可．

解答 （1）證明：如圖①，連接DN，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵∠DON=90°，
∴BN=DN，
∵∠BCD=90°，
∴DN²=CD²+CN²，
∴BN²=CD²+CN²；
如圖③，

延長NO交AD于P，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
在△BON和△DOP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBO=∠PDO}\\{∠BNO=∠DPO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BON≌△DOP，
∴ON=OP，BN=PD，
∵OC⊥DP，
∴CN=CP，
根據(jù)勾股定理得，CP²=DP²+CD²，
∴CN²=BN²+CD²
故答案為CN²=CD²+BN²；
（2）證明：如圖②，延長NO交AD于點P，連接PM，MN，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，
在△BON和△DOP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBO=∠PDO}\\{∠BNO=∠DPO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BON≌△DOP，
∴ON=OP，BN=PD，
∵∠MON=90°，
∴PM=MN，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²，
∴PD²+DM²=CM²+CN²，
∴BN²+DM²=CM²+CN²．
（3）如圖③，

延長NO交AD于點P，連接MN，MP，
∵O為矩形ABCD的對角線的交點，
∴由旋轉可得，BN=DP，OP=ON，
∴OM垂直平分PN，
∴MP=MN，
在Rt△MDP中，MP²=DP²+DM²，
在Rt△MCN中，MM²=CN²+CM²，
∵MP=MN，BN=DP，
∴BN²+DM²=CN²+CM²，
設DM=x，CN=y，
∴CM=8-x，BN=10-y，
∴（10-y）²+x²=y²+（8-x）²，
∴y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{9}{5}$，
∴CM+CN=8-x+y=8-x+$\frac{4}{5}$x+$\frac{9}{5}$=$\frac{49}{5}$-$\frac{1}{5}$x，
∵CM+CN=$\frac{44}{5}$，
∴$\frac{49}{5}$-$\frac{1}{5}$x=$\frac{44}{5}$，
∴x=5，
∴當DM=5時，CM+CN=$\frac{44}{5}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，用勾股定理得到PM²=PD²+DM²，MN²=CM²+CN²轉化出BN²+DM²=CM²+CN²是解本題的關鍵．