Question

5．如圖1，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，AF與ED相交于O，且BE=CF，過點C作CG⊥DE，垂足為G．
（1）求證：DE⊥AF；
（2）探究：線段AO，DO，GO長度之間存在怎樣的數(shù)量關系？請寫出并說明理由；
（3）拓展：若點E，F(xiàn)分別在線段BC，CD的延長線上，AF與ED的延長線相交于O，其余條件不變，請你在圖2中畫出滿足條件的圖形，并寫出線段AO，DO，GO長度之間的數(shù)量關系（不需證明）．

Answer 1

分析 （1）由BE=CF及正方形的性質，得出CE=DF，DC=AD，∠DCE=∠ADF=90°，證明△CDE≌△DAF，得出∠CDE=∠DAF，而∠CDE+∠ADO=90°，可得∠DAF+∠ADO=90°，利用互余關系得出∠AOD=90°即可；
（2）由（1）的結論可證△ADO≌△DCG，得AO=DG=DO+OG；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，同（1）易得△ADF≌△DCE，證得∠AOD=90°，證得△ADO≌△DCG，由全等三角形的性質可得AO=DG，OD=CG，等量代換數(shù)形結合可得結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，且BE=CF，
∴CE=DF，DC=AD，∠DCE=∠ADF=90°，
在△CDE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DF}\\{∠ECD=∠FDA=90°}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DAF，
∴∠CDE=∠DAF，
又∵∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠DAF+∠ADO=90°，
∴∠AOD=90°，即DE⊥AF；

（2）解：AO=DO+OG．
理由：由（1）的結論可知，
∠CDE=∠DAF，∠AOD=∠DGC=90°，AD=DC，
在△ADO和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠DGC=90°}\\{∠DAF=∠CDE}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
則△ADO≌△DCG，
所以AO=DG=DO+OG；

（3）解：右圖即為所求；
如圖所示，AO+DO=GO．
理由：∵同（1）可得△ADF≌△DCE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠CDE=∠FDO，
∴∠DAF=∠FDO，
∵∠FDO+∠ADO=90°，
∴∠DAF+∠ADO=90°，
∴∠AOD=90°，
在△ADO與△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠DGC=90°}\\{∠DAO=∠CDG}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△DCG，
∴AO=DG，OD=CG，
∵OD+DG=OG，
∴OD+AO=GO．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，關鍵是利用正方形的性質證明全等三角形，利用線段，角的關系解題．