Question

15．如圖，在△ABC，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于I，問∠BIC與∠A有什么關(guān)系？利用上述關(guān)系，計算：
（1）當(dāng)∠A=50°時，求∠BIC；
（2）當(dāng)∠BIC=130°時，求∠A．

Answer 1

分析 由三角形內(nèi)角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，則∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），在△IBC中，利用三角形內(nèi)角和定理求∠BIC即可．①②代入求得答案即可．

解答 解：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵BI、CI是△ABC內(nèi)角的平分線
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
在△IBC中，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A
即：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A
①當(dāng)∠A=50°時，∠BIC=115°．
②當(dāng)∠BIC=130°時，∠A=80°．

點評 本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，內(nèi)角和定理的運用，掌握三角形的內(nèi)角和等于180°是解決問題的關(guān)鍵．