Question

15．已知：如圖，二次函數(shù)的圖象是由y=-x²向右平移1個單位，再向上平移4個單位所得到．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線對稱軸l上一動點(diǎn)，求使AP+CP最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M是y軸上一點(diǎn)，且△MAC是以AC為腰的等腰三角形，試求M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可得到新的二次函數(shù)的解析式和對稱軸；
（2）連接BC，交對稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B （3，0），由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小，依此求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)以AC為腰，A為頂點(diǎn)時(shí)和以AC為腰，C為頂點(diǎn)兩種情況分類討論即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）二次函數(shù)的解析式：y=-（x-1）²+4，對稱軸為直線x=1；

（2）連接BC，交對稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．
要使PA+PC最�。�
∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0），拋物線y=-x²+2x+3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，將B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．
∴y=-x+3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．

（3）令y=-（x-1）²+4=0，
解得：x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0，解得：y=3，
∴C（0，3），
∴AO=1，CO=3，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
如圖，當(dāng)以AC為腰，A為頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)CO=M₁O，
∴M1的坐標(biāo)為（0，-3），
當(dāng)以AC為腰，C為頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)CM=AC，
即：CM₂=AC=$\sqrt{10}$，CM₃=AC=$\sqrt{10}$，
∴M₂（0，3-$\sqrt{10}$），M₃（0，3+$\sqrt{10}$）

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：二次函數(shù)圖象的幾何變換，重點(diǎn)是找出平移變換的關(guān)系，軸對稱-最短距離，兩點(diǎn)之間線段最短．