Question

7．如圖，銳角△ABC的外接圓O．在BC邊上取兩點(diǎn)D、E使∠BAD=∠CAE，EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥AC于點(diǎn)N，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)P．求證：AP•MN=AB•AC•sin∠BAC．

Answer 1

分析 構(gòu)造以AE為直徑的圓G，作圓G的直徑MF，連接NF、BP．由題意可知∠EMA+∠ENA=180°，則點(diǎn)A、M、E、N共圓，由MN=MFsin∠MFN，AE=MF，∠MAN=∠MFN，可知MN=AEsin∠BAC，故此可得到AE=$\frac{MN}{sin∠BAC}$．由∠C=∠P，∠BAD=∠CAE可知△APB∽△ACE，從而得到$\frac{AB}{AE}=\frac{AP}{AC}$，故此可證明AP•MN=AB•AC•sin∠BAC．

解答 解：如圖所示，構(gòu)造以AE為直徑的圓G，作圓G的直徑MF，連接NF、BP．

∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴∠EMA=∠ENA=90°．
∴∠EMA+∠ENA=180°．
點(diǎn)A、M、E、N共圓．
∵∠AME=90°，
∴AE是圓G的直徑．
∵M(jìn)F是圓G的直徑，
∴∠MNF=90°．
∴MN=MFsin∠MFN．
∵AE=MF，∠MAN=∠MFN，
∴MN=AEsin∠BAC．
∴AE=$\frac{MN}{sin∠BAC}$．
∵∠C=∠P，∠BAD=∠CAE，
∴△APB∽△ACE．
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AP}{AC}$．
∴AP•AE=AB•AC．
∴AP•$\frac{MN}{sin∠BAC}$=AB•AC．
∴AP•MN=AB•AC•sin∠BAC．

點(diǎn)評 本題主要考查的圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的定義、四點(diǎn)共圓，證得AE=$\frac{MN}{sin∠BAC}$是解題的關(guān)鍵．