Question

3．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n與直線y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，從而得到∠ACB=90°，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，△PAQ∽△CAB．此時(shí)可證得△PGA∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x．則有P（x，3-3x），然后把P（x，3-3x）代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，△PAQ∽△CBA，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

解答 解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{\frac{1}{2}×9+mx+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．
過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=$\sqrt{2}$．
同理：∠ACO=45°，AC=3$\sqrt{2}$，
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）（1）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．
過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．
若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，
①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，
∴$\frac{PG}{AG}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
∴AG=3PG=3x．
則P（x，3-3x）．把P（x，3-3x）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=3-3x，
整理得：x²+x=0，解得：x₁=0（舍去），x₂=-1（舍去）．
②如圖2②，當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．
同理可得：AG=$\frac{1}{3}$PG=$\frac{1}{3}$x，則P（x，3-$\frac{1}{3}$x），
把P（x，3-$\frac{1}{3}$x）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3，得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=3-$\frac{1}{3}$x，
整理得：x²-$\frac{13}{3}$x=0，解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{13}{3}$，∴P（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{9}$）；
若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，
①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，
同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．
②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．
同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（$\frac{17}{3}$，$\frac{44}{9}$）．
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{9}$）、（$\frac{17}{3}$，$\frac{44}{9}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、兩點(diǎn)之間線段最短、軸對稱的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大．