Question

12．已知如圖，點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上，E在AB上，連接DE，若∠DEB=∠A，點(diǎn)B為DC中點(diǎn)．求證：DE=AC．

Answer 1

分析 過(guò)A作AF∥DE交CD的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FAB=∠DEB，等量代換得到∠FAB=∠BAC，根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得到$\frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BF}$，通過(guò)△DBE∽△FBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{AF}=\frac{BD}{BF}$，等量代換得到$\frac{DE}{AF}=\frac{AC}{AF}$，即可得到結(jié)論．

解答 證明：過(guò)A作AF∥DE交CD的延長(zhǎng)線于F，
∴∠FAB=∠DEB，
∵∠DEB=∠BAC，
∴∠FAB=∠BAC，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BF}$，
∵AF∥DE，
∴△DBE∽△FBA，
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{BD}{BF}$，
∵點(diǎn)B為DC中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{AC}{AF}$，
∴AC=DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形角平分線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．