Question

5．如圖1，△ABC中，兩條角平分線BD，CE交于點(diǎn)M，MN⊥BC于點(diǎn)N，將∠MBN記為∠1，∠MCN記為∠2．∠CMN記為∠3．
（1）若∠A=98°，∠BEC=124°，則∠2=26°，∠3-∠1=49°；
（2）猜想∠3-∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若∠BEC=α，∠BDC=β，如圖2所示，用含α和β的代數(shù)式表示∠3-∠1的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

分析 （1）利用三角形外角性質(zhì)得到∠BEC=∠A+∠ACE，則可計算出∠ACE=26°，再根據(jù)角平分線定義得到∠2=∠ACE=26°，接著在△BCE中計算出∠EBC，從而得到∠1的度數(shù)，然后利用互余求∠3=64°，最后計算∠3-∠1；
（2）利用三角形外角性質(zhì)得∠BMC=∠MDC+∠DCM，∠MDC=∠A+∠ABD，即∠BMC=∠2+∠A+∠1，再利用三角形內(nèi)角和得到180°-∠1-∠2=∠2+∠A+∠1，然后把∠2=90°-∠3代入后整理得到∠3-∠1=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）利用三角形外角性質(zhì)得∠BEC=∠A+∠ACE，∠BDC=∠A+∠ABD，加上∠1=∠EBM，∠2=∠DCM，則α=∠A+∠2，β=∠A+∠1，把兩式相加后把∠A=∠3-∠1代入得到α+β=2（∠3-∠1）+90°-∠3+∠1，整理即可得到∠3-∠1=α+β-90°．

解答 解：（1）∵∠BEC=∠A+∠ACE，
∴∠ACE=124°-98°=26°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠2=∠ACE=26°，
∴∠EBC=180°-∠2-∠BEC=30°，
而BD平分∠ABC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∵M(jìn)N⊥BC，
∴∠3=90°-∠2=90°-26°=64°；
∴∠3-∠1=49°，
故答案為26，49；
（2）∠3-∠1=$\frac{1}{2}$∠A．理由如下：
∵∠BMC=∠MDC+∠DCM，
而∠MDC=∠A+∠ABD，∠DCM=∠2，
∴∠BMC=∠2+∠A+∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠ABD，
∴∠BMC=∠2+∠A+∠1，
∴180°-∠1-∠2=∠2+∠A+∠1，
∴2∠2+2∠1=180°-∠A，
而∠2=90°-∠3，
∴2（90°-∠3）+2∠1=180°-∠A，
∴∠3-∠1=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BDC=∠A+∠ABD，
而∠1=∠EBM，∠2=∠DCM，
∴α=∠A+∠2，β=∠A+∠1，
∴α+β=2∠A+∠2+∠1，
而∠A=∠3-∠1，
∴α+β=2（∠3-∠1）+90°-∠3+∠1，
∴∠3-∠1=α+β-90°．

點(diǎn)評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．正確運(yùn)用角平分線和三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．