Question

14．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=12cm，AC=6cm，點(diǎn)E在線段BO上從點(diǎn)B以1cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，點(diǎn)F在線段OD上從點(diǎn)O以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動．
（1）若點(diǎn)E、F同時運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，四邊形AECF是平行四邊形．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)AB為何值時，?AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面積．

Answer 1

分析 （1）若是平行四邊形，所以BD=12cm，則B0=DO=6cm，故有6-1t=2t，即可求得t值；
（2）若是菱形，則AC垂直于BD，即有AO²+BO²=AB²，故AB可求；
（3）根據(jù)四邊形AECF是菱形，求得BO⊥AC，OE=OF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BO=OD，求得BE=DF，列方程到底BE=DF=2，求得EF=8，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）若四邊形AECF為平行四邊形，
∴AO=OC，EO=OF，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BO=OD=6cm，
∴EO=6-t，OF=2t，
∴6-t=2t，
∴t=2s，
∴當(dāng)t為2秒時，四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO²+BO²=AB²，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$；
∴當(dāng)AB為3$\sqrt{5}$時，?AECF是菱形；
（3）解：（1）若四邊形AECF為平行四邊形，
∴AO=OC，EO=OF，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BO=OD=6cm，
∴EO=6-t，OF=2t，
∴6-t=2t，
∴t=2s，
∴當(dāng)t為2秒時，四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO²+BO²=AB²，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$；
∴當(dāng)AB為3$\sqrt{5}$時，?AECF是菱形；

（3）∵四邊形AECF是菱形，
∴BO⊥AC，OE=OF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=OD，
∴BE=DF，
∴t=6-2t，
∴t=2，
∴BE=DF=2，
∴EF=8，
∴菱形AECF的面積=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}×$6×8=24．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)和菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積的計(jì)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力．