Question

12．東坡商貿(mào)公司購進(jìn)某種水果的成本為20元/kg，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來48天的銷售單價(jià)p（元/kg）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}t+30（1≤t≤24，t為整數(shù)）}\\{-\frac{1}{2}t+48（25≤t≤48，t為整數(shù)）}\end{array}\right.$，且其日銷售量y（kg）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如表：

時(shí)間t（天）	1	3	6	10	20	40	…
日銷售量y（kg）	118	114	108	100	80	40	…

（1）已知y與t之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，試求在第30天的日銷售量是多少？
（2）問哪一天的銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)為多少？
（3）在實(shí)際銷售的前24天中，公司決定每銷售1kg水果就捐贈(zèng)n元利潤(rùn)（n＜9）給“精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：在前24天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=kt+b，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）日利潤(rùn)=日銷售量×每公斤利潤(rùn)，據(jù)此分別表示前24天和后24天的日利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論．
（3）列式表示前24天中每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求n的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=118}\\{3k+b=114}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=120}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+120．
將t=30代入上式，得：y=-2×30+120=60．
所以在第30天的日銷售量是60kg．

（2）設(shè)第x天的銷售利潤(rùn)為w元．
當(dāng)1≤t≤24時(shí)，由題意w=（-2t+120）（$\frac{1}{4}$t+30-20）=-$\frac{1}{2}$（t-10）²+1250，
∴t=10時(shí) w最大值為1250元．
當(dāng)25≤t≤48時(shí)，w=（-2t+120）（-$\frac{1}{2}$t+48-20）=t²-116t+3360，
∵對(duì)稱軸t=58，a=1＞0，
∴在對(duì)稱軸左側(cè)w隨x增大而減小，
∴t=25時(shí)，w最大值=1085，
綜上所述第10天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1250元．
（3）設(shè)每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)為m元．
由題意m=（-2t+120）（$\frac{1}{4}$t+30-20）-（-2t+120）n=-$\frac{1}{2}$t²+（10+2n）t+1200-120n，
∵在前24天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，
∴-$\frac{10+2n}{2×（-\frac{1}{2}）}$＞23.5，（見圖中提示）
∴n＞6.75．
又∵n＜9，
∴n的取值范圍為6.75＜n＜9．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對(duì)所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性，最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．