Question

16．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，過(guò)D作⊙O的切線(xiàn)交AC于E，DE=3，CE=1．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由DE是⊙O的切線(xiàn)，得到∠ODE=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA=∠OAD，等量代換得到∠CAD=∠ODA，根據(jù)平行線(xiàn)的判定 定理得到AE∥OD，于是得到結(jié)論；
（2）作OF⊥AC于F，推出四邊形OFED是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OF=ED=3，OD=EF，設(shè)⊙O的半徑為R，則AF=CF=R-1，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD，
∵DE是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠ODE=90°，
∵D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AE∥OD，
∴∠AED=180°-∠ODE=90°，
∴DE⊥AC；

（2）解：作OF⊥AC于F，
 則AF=CF，四邊形OFED是矩形，
∴OF=ED=3，OD=EF，
設(shè)⊙O的半徑為R，則AF=CF=R-1，
在Rt△AOF中，AF²+OF²=OA²，
∴（R-1）²+3²=R²，
解得R=5，
即⊙O的半徑為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓心角，弧，弦的關(guān)系，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．