Question

11．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC的高CD與角平分線AE相交點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CH⊥AE于G，交AB于H．
（1）求∠BCH的度數(shù)；
（2）求證：CE=BH．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形得：∠CAB=∠B=45°，由角平分線得：∠CAE=22.5°，從而計(jì)算出∠AEC的度數(shù)，并在直角△CGE中根據(jù)兩銳角互余求出∠BCH的度數(shù)；
（2）先證明△CFE是等腰三角形，得：CE=CF，再證明△ACF≌△CBH，得CF=BH，所以CE=BH．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°，
∴∠AEC=90°-∠CAE=67.5°，
∵CH⊥AE于G，
∴∠CGE=90°，
∴∠BCH=90°-∠AEC=90°-67.5°=22.5°；
（2）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是△ABC的高，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴∠CFE=∠CAE+∠ACD=22.5°+45°=67.5°，
∴∠CFE=∠AEC，
∴CF=CE，
在△ACF和△CBH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠CAF=∠BCH=22.5°\\ AC=CB\\∠ACF=∠B=45°\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBH（ASA），
∴CF=BH，
∴CE=BH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定及等腰直角三角形的性質(zhì)，同時(shí)做好本題還要熟練掌握等腰三角形的等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊；從而得出邊和角的關(guān)系，使問題得以解決．