Question

1．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．
（1）求證：BD=AF；
（2）判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE，即可得出結(jié)論；
（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=BD．結(jié)合已知條件，利用“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}&{\;}\\{∠FEA=∠BED}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴BD=AF；
（2）解：四邊形ADCF是菱形；理由如下：
由（1）知，AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四邊形ADCF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．