Question

1．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于點0，∠ACD=30°，BD=2．
（1）求證：△ABD是正三角形；
（2）求AC的長（結果可保留根號）．

Answer 1

分析 （1）菱形的邊AB=AD，即已知兩邊相等，再尋找一個角為60°，即可證明△ABD是正三角形；
（2）先由三角函數求OC的長，即可得出AC的長．

解答 （1）證明：∵AC是菱形ABCD的對角線，
∴AC平分∠BCD．
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°．
∵∠BAD與∠BCD是菱形的一組對角，
∴∠BAD=∠BCD=60°．
∵AB、AD是菱形的兩條邊，
∴AB=AD．
∴△ABD是正三角形．
（2）解：∵O為菱形對角線的交點，
∴AC=2OC，OD=$\frac{1}{2}$BD=1，∠COD=90°．
在Rt△COD中，$\frac{OD}{OC}$=tan∠OCD=tan30°，
∴OC=$\frac{OD}{tan30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴AC=2OC=2$\sqrt{3}$．
答：AC的長為2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查菱形的性質和等邊三角形的判定、三角函數；熟練掌握菱形的性質是解決問題的關鍵．