Question

5．如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕EF交BC于E，交AD于F，連接AE，CF
（1）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；
（2）如果AB=4，AD=8，求：①△ABE的周長；②折痕EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件判定△ABE≌△CDF，進(jìn)而證明四邊形AECFD的四邊相等問題得證；
（2）①在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的長，即可得到△ABE的周長；
②由①的結(jié)論在Rt△ABC中求出EO的長，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）四邊形AECF是菱形，
根據(jù)對折可知，AF=CF，AE=CE，∠EAF=∠ECF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D，AB=CD
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四邊形AECF是菱形；

（2）①連接AC交EF于O，設(shè)BE=x，則EC=AE=8-x，
故在Rt△ABE中，（8-x）²=x²+4²，
解得x=3，
∴BE=3；
∴AE=5，
∴△ABE的周長=4+3+5=12；
②∵菱形對角線互相平分，
∴AO=CO，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AO=2$\sqrt{5}$，
EO²=AE²-AO²=5²-（2$\sqrt{5}$）²=5，
∴EO=$\sqrt{5}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查菱形的判定方法：四條邊都相等的四邊形是菱形和全等三角形的判定方法以及圖形的翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換．