Question

15．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=18°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ，得到△A′B′C．
（1）如圖1，當(dāng)θ為何值時，點(diǎn)A恰好落在A′B′上；
（2）如圖2，當(dāng)0°＜θ＜90°時，設(shè)B′C與AB相交于點(diǎn)D，連接B′B，若△B′DB為等腰三角形，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）先利用互余計(jì)算出∠BAC=72°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CA=CA′，∠BAC=∠A′=18°，∠ACA′=θ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ACA′即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCB′=θ，CB=CB′，則∠CB′B=∠CBB′，然后分類討論：設(shè)∠BDB′=x，當(dāng)BB′=BD時，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠BDB′=∠DBB′=x，則∠DBB′=∠CBB′=x+18°，再由三角形內(nèi)角和得到x+x+x+18°=180°，解方程求出x后利用三角形外角性質(zhì)求θ；當(dāng)BB′=DB′時，利用前面的方法計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=18°，
∴∠BAC=90°-18°=72°，
∵△ABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ，得到△A′B′C，
∴CA=CA′，∠BAC=∠A′=18°，∠ACA′=θ，
∴∠CAA′=∠A′=72°，
∴∠ACA′=180°-2×72°=36°，
即θ的值為36°；
（2）∵△ABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ，得到△A′B′C，
∴∠BCB′=θ，CB=CB′，
∴∠CB′B=∠CBB′，
設(shè)∠BDB′=x，
當(dāng)BB′=BD時，則∠BDB′=∠DBB′=x，
∴∠DBB′=∠CBB′=x+18°，
在△BDB′中，x+x+x+18°=180°，解得x=54°，
而∠BDB′=∠BCB′+∠CBD，
∴θ+18°=54°，解得θ=36°；
當(dāng)BB′=DB′時，則∠BDB′=∠DB′D=∠CBB′=x，
∴∠DBB′=x-18°，
在△BDB′中，x+x+x-18°=180°，解得x=66°，
而∠BDB′=∠BCB′+∠CBD，
∴θ+18°=66°，解得θ=48°．
綜上所述，θ的值為36°或48°．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和．