Question

函數(shù)y=-

1

2

x+1的圖象與x軸交于A，與y軸交于B，C在直線AB上，且OC=

1

2

AB，反比例函數(shù)y=

k

x

過C點，則k的值可能是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：首先求出點A、B的坐標，然后由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”確定點C是線段AB的中點，據(jù)此可以求得點C的坐標，把點C的坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求得k的值．另外，以點O為圓心，OC長為半徑作圓，與直線AB有另外一個交點C′，點C′也符合要求，不要遺漏．

解答：解：在y=-

1

2

x+1中，令y=0，則x=2；令x=0，得y=1，
∴A（2，0），B（0，1）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

5

，則OC=

1

2

AB=

5

2

．
方法一：設∠BAO=θ，則sinθ=

OB

AB

=

1

5

=

5

5

，cosθ=

OA

AB

=

2

5

=

2 5

5

．
當點C為線段AB中點時，有OC=

1

2

AB=

5

2

．
∵A（2，0），B（0，1），
∴C（1，

1

2

）．
以點O為圓心，OC長為半徑作圓，與直線AB的另外一個交點是C′，則點C、點C′均符合條件．
如圖，過點O作OE⊥AB于點E，則AE=OA•cosθ=2×

2 5

5

=

4 5

5

，
∴EC=AE-AC=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

．
∵OC=OC′，∴EC′=EC=

3 5

10

，
∴AC′=AE+EC′=

4 5

5

+

3 5

10

=

11 5

10

．
過點C′作CF⊥x軸于點F，則C′F=AC′•sinθ=

11 5

10

×

5

5

=

11

10

，
AF=AC′•cosθ=

11 5

10

×

2 5

5

=

11

5

，
∴OF=AF-OA=

11

5

-2=

1

5

．
∴C′（-

1

5

，

11

10

）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經過點C或C′，1×

1

2

=

1

2

，-

1

5

×

11

10

=-

11

50

，
∴k=

1

2

或-

11

50

．

方法二：設C（m，-

1

2

m+1），
∵OC=

5

2

，
∴m²+（-

1

2

m+1）²=（

5

2

）²，
解得：m=-

1

5

或1．
∴C（-

1

5

，

11

10

）或（1，

1

2

）．
∴k=

1

2

或-

11

50

．
故答案為：

1

2

或-

11

50

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．注意符合條件的C點有兩個，需要分別計算，不要遺漏．