Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=

3

4

x-3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，直線y=2x+b經(jīng)過點(diǎn)B，D，且AB⊥x軸，BC⊥y軸于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（0，t）在線段OC（點(diǎn)p不與O、C點(diǎn)重合）上運(yùn)動，過點(diǎn)P作PE∥DB交BC于點(diǎn)E，設(shè)線段BE的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)H為線段OC上一點(diǎn)，連接AP與直線DB交于點(diǎn)M，連接PB，當(dāng)以PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M時，恰好使∠MHO=∠OAD，求此時的t值及H點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線y=

3

4

x-3求得A、D的坐標(biāo)，把A的橫坐標(biāo)代入直線BD的解析式即可求得B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意得出

CP

CD

=

CE

CB

，即

5-t

8

=

4-d

4

，即可求得d與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意設(shè)出直線AP的解析式為y=-

1

2

x+t，代入A的坐標(biāo)即可求得t的值，根據(jù)直線AP和直線BD的解析式，求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)△DOA∽△MNH，得出

HN

OA

=

MN

OD

，求得NH的長，即可求得H的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=

3

4

x-3，
∴A（4，0），D（0，-3），
∵直線y=2x+b經(jīng)過點(diǎn)D，
∴b=-3，
∴直線BD為：y=2x-3，
∵AB⊥x軸，
把x=4代入得，y=2×4-3=5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，5）；
（2）如圖①，∵B（4，5），BC⊥y軸于點(diǎn)C，
∴C（0，5），
∴CD=8，BC=4，
∵PE∥DB，
∴

CP

CD

=

CE

CB

，即

5-t

8

=

4-d

4

，
∴d=

1

2

t+

3

2

（0＜t＜5）；
（3）如圖②，∵以PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，
∴∠PMB=90°，
∵直線BD為：y=2x-3，
∴設(shè)直線AP的解析式為y=-

1

2

x+t，
∵A（（4，0），
代入得0=-

1

2

×4+t，解得t=2，
∴直線AP的解析式為y=-

1

2

x+2，
解

y=2x-3 y=- 1 2 x+2

，得

x=2 y=1

，
∴M（2，1），
作MN⊥y軸于N，則MN=2．
∵∠AOD=∠MNH=90°，∠MHO=∠OAD，
∴△DOA∽△MNH，
∴

HN

OA

=

MN

OD

，即

NH

4

=

2

3

，解得NH=

8

3

，
∴OH=

8

3

+1=

11

3

，
∴H（0，

11

3

）．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行線分線段成比例定理，直線的交點(diǎn)的求法三角形相似的判定和性質(zhì)等．