Question

如圖，正方形ABCD中，連接BD．點E在邊BC上，且CE=2BE．連接AE交BD于F；連接DE，取BD的中點O；取DE的中點G，連接OG．下列結(jié)論：
①BF=OF；②OG⊥CD；③AB=5OG；④sin∠AFD=

2 5

5

其中正確結(jié)論的是

 

．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：由條件四邊形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=DA，AD∥BC，通過作輔助線制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出線段之間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)就可以求出相應(yīng)的結(jié)論．

解答：解：∵CE=2BE，
∴

BE

CE

=

1

2

，
∴

BE

BC

=

1

3

．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴

BE

AD

=

1

3

，
∵AD∥BC，
∴△BFE∽△DFA，
∴

BF

DF

=

BE

AD

=

1

3

，
∵O是BD的中點，G是DE的中點，
∴OB=OD，OG=

1

2

BE，OG∥BC，
∴BF=OF，①正確，
OG⊥CD，②正確
OG=

1

2

BE=

1

2

×

1

3

BC=

1

6

BC=

1

6

AB，即AB=6OG，③錯誤，
連接OA，

∴OA=OB=2OF，OA⊥BD，
∴由勾股定理得；AF=

5

OF，
∴sin∠AFD=

OA

AF

=

2OF

5 OF

=

2 5

5

，④正確，
故答案為①②④．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準確選擇．