Question

如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，

AC

AB

=

3

4

，點P在線段AB上運動，點Q、R分別在線段BC、AC上，且使得四邊形APQR是矩形．設(shè)AP的長為x，矩形APQR的面積為y，已知y是x的函數(shù)，其圖象是過點（12，36）的拋物線的一部分（如圖2）．
（1）請解釋圖中點（12，36）在圖①中的意義；
（2）求拋物線與x軸的交點M的坐標；
（3）當AP為何值時，矩形APQR的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,動點問題的函數(shù)圖象

專題：

分析：（1）AP的長為x，矩形APQR的面積為y，得出（12，36）表示當AP=12時，矩形APQR面積為36．
（2）由于y是x的函數(shù)且過（12，36）點，即AP=12時，矩形的面積為36，可求出PQ的長，進而在RT△BPQ中得出BP的值，根據(jù)AB=AP+BP即可求出AB的長．
即M的橫坐標．
（3）可先用AP表示出BP的長，然后在RT△BPQ中，表示出PQ的長；根據(jù)矩形的面積計算方法即可得出關(guān)于y，x的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)求出矩形的最大面積以及此時對應的x的值．

解答：解：（1）∵拋物線上的點（x，y）是表示圖1中AP的長與矩形APQR的面積，
∴（12，36）表示當AP=12時，矩形APQR面積為36．
（2）當AP=12時，AP•PQ=36，
∴PQ=3，
又在Rt△BPQ中，tanB=

AC

AB

=

3

4

，
∴PB=4．
∴AB=12+4=16．
∴點M的坐標為（16，0）
（3）若AP=x，則PB=16-x，PQ=

3

4

×（16-x），
∴y=

3

4

×（16-x）•x，
整理得y=-

3

4

（x-8）²+48．
∴當x=8時，y_最大值=48．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題及動點問題的函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合的思路求得相應的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．