Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖（1），PQ是該拋物線對(duì)稱軸l上的動(dòng)線段，且PQ=1，直接寫出PC+QB的最小值；
（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ E與A、D不重合），過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（4）若點(diǎn)M為拋物線上異于F的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在第（3）問△ADF的面積S取最大值的情況下，若S_△MAD=3S_△ADF，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）過點(diǎn)C作直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，過點(diǎn)Q作QF∥PE，交EG于點(diǎn)F，連接FB，如圖1．易得PC+QB=PE+QB=FQ+QB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：FQ+QB（即PC+QB）最小值為FB，只需在Rt△FGB中運(yùn)用勾股定理即可解決問題．
（3）運(yùn)用待定系數(shù)法可求出直線AD的解析式，由點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m可用m的代數(shù)式表示出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，從而表示出EF的長，進(jìn)而表示出△ADF的面積，然后運(yùn)用配方法就可解決問題．
（4）過點(diǎn)M作MN⊥DH，交直線AD于N，交直線DH于Q，如圖3．運(yùn)用割補(bǔ)法可用MN表示出△ADM的面積，然后根據(jù)條件即可得到MN的值．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，-n²-2n+3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n-

3

2

，-n²-2n+3），將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入直線AD的解析式，求出n的值，就可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c，得：

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

．
則拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3．
 
（2）過點(diǎn)C作直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，過點(diǎn)Q作QF∥PE，交EG于點(diǎn)F，連接FB，如圖1．

則有PC=PE，EF∥PQ．
∵EF∥PQ，QF∥PE，
∴四邊形EFQP是平行四邊形，
∴EF=PQ=1，EP=FQ，
∴PC=FQ，
∴PC+QB=FQ+QB，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：FQ+QB（即PC+QB）最小值為FB．
∵拋物線y=-x²-2x+3的對(duì)稱軸為x=-1，C（0，3），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，3），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，2）．
在Rt△FGB中，
FG=2，GB=1-（-2）=3，
根據(jù)勾股定理可得：FB=

FG2+GB2

=

13

．
∴PC+QB的最小值為

13

．

（3）∵拋物線y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
∵A（-3，0），D（-1，4），
∴

-3k+b=0 -k+b=4

，
解得：

k=2 b=6

，
∴直線AD的解析式為y=2x+6．
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，
∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，-m²-2m+3），
∴EF=-m²-2m+3-（2m+6）=-m²-4m-3，
∴S=S_△DEF+S_△AEF
=

1

2

EF•GH+

1

2

EF•AG
=

1

2

EF•AH
=

1

2

（-m²-4m-3）×2
=-m²-4m-3
=-（m+2）²+1，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，S最大值為1．

（4）過點(diǎn)M作MN⊥DH，交直線AD于N，交直線DH于Q，如圖3．

S_△ADM=S_△DMN+S_△AMN
=

1

2

MN•DQ+

1

2

MN•QH
=

1

2

MN•DH
=2MN．
由題可得：S_△ADM=2MN=3，
∴MN=

3

2

．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，-n²-2n+3），
則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n-

3

2

，-n²-2n+3）．
∵點(diǎn)N在直線AD上，
∴-n²-2n+3=2（n-

3

2

）+6，
整理得：n²+4n=0，
即n（n+4）=0，
解得：n₁=0，n₂=-4．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）或（-4，-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、解一元二次方程、勾股定理等知識(shí)，而在解決問題的過程中用到了待定系數(shù)法、配方法、割補(bǔ)法、因式分解法等重要的數(shù)學(xué)方法，是考查學(xué)生能力的一道好題．