Question

如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的中線，且DC=AE，G是CE的中點(diǎn)，連結(jié)DG．
（1）求證：DG⊥CE；
（2）作∠BEC的角平分線交BC于F，求證：BE+BF=EC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接DE，易證AE=DE，即可求得CD=DE，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)即可解題；
（2）延長(zhǎng)CB到H使BH=BE，連接EH，易證AE=BE=DE=DC和∠CDE=∠EBH，即可證明△CDE≌△EBH，可得∠DCE=∠BEH，EC=EH，再根據(jù)EF是∠BEC的角平分線，可求得∠EFH=∠FEH，即可求得EH=FH，即可解題．

解答：證明：（1）連接DE，

∵RT△ABD中，E是AB中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∵CD=AE，
∴CD=DE，
∵G是CE中點(diǎn)，
∴DG⊥CE；
（2）延長(zhǎng)CB到H使BH=BE，連接EH，

∵AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的中線，
∴RT△ADB中AE=BE=DE，
∵DC=AE，
∴AE=BE=DE=DC，
∴∠BDE=∠DBE，
∵∠BDE+∠CDE=∠DBE+∠EBH=180°，
∴∠CDE=∠EBH，
在△CDE和△EBH中，

BE=CD ∠CDE=∠EBH DE=BG

，
∴△CDE≌△EBH（SAS），
∴∠DCE=∠BEH，EC=EH，
∵∠EFH=∠DCE+∠CEF，∠FEH=∠BEH+∠BEF，
∵EF是∠BEC的角平分線，
∴∠CEF=∠BEF，
∴∠EFH=∠FEH，
∴EH=FH，
∵FH=BH+BF=BE+BF，
∴BE+BF=EC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì)，本題中求證△CDE≌△EBH是解題的關(guān)鍵．