Question

8．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，5）和點(diǎn)B（-5，p），?ABCD的頂點(diǎn)C、D分別在y軸的負(fù)半軸、x軸的正半軸上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C、D．二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，若點(diǎn)E在對(duì)稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上，且∠DCE＞∠BDA，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)m的取值范圍為1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．

Answer 1

分析 利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)求出反比例函數(shù)解析式，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出C，D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；根據(jù)題意得出要使∠DCE＞∠BDA，即∠DCE+∠BDO=45°，再利用當(dāng)E在x軸下方，EC∥DG時(shí)滿足條件；E′在x軸上方，且∠BDO=∠OCE′時(shí)，分別得出符合題意的答案即可．

解答 解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為$\frac{k}{x}$．
∵它圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，5）和點(diǎn)B（-5，p），
∴5=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-10，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{10}{x}$．
∴p=-$\frac{10}{-5}$=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，2），
由?ABCD中，AB∥CD，設(shè)CD的表達(dá)式為y=x+c，
∴C（0，c），D（-c，0），
∵CD=AB，
∴CD²=AB²，
∴c²+c²=（-5+2）²+（2-5）²，
∴c=-3，
∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是（0，-3）、（3，0）；
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx-3，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、D．
則$\left\{\begin{array}{l}{5=4a-2b-3}\\{0=9a+3b-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3；
∵∠BDO+∠BDA=45°，
∴∠BDA=45°-∠BDO，
要使∠DCE＞∠BDA，即∠DCE+∠BDO≥45°，
作H關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)G，則G點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-$\frac{3}{4}$），
故∠HDO=∠ODG，
當(dāng)CE∥DG時(shí)，∠DCE=∠GDO，
此時(shí)∠ODG+∠DCE=45°，
即∠BDO+∠DCE=45°，
故E在x軸下方，EC∥DG時(shí)滿足條件；
設(shè)直線DG的解析式為：y=ex+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{3}{4}}\\{3e+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{1}{4}}\\{d=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
故直線DG的解析式為；y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
則EC的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{39}{16}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
故E點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{9}{4}$，-$\frac{39}{16}$），
故m的取值范圍是：1≤m＜$\frac{9}{4}$；
當(dāng)∠OCM=∠BDO時(shí)，∠DCE′+∠BDO=45°，
E′在x軸上方，且∠BDO=∠OCE′，
即tan∠BDO=tan∠OCE′，
則$\frac{ON}{3}$=$\frac{\frac{3}{4}}{3}$，
解得：NO=$\frac{3}{4}$，
設(shè)直線CN的解析式為：y=tx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{\frac{3}{4}t+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{t=4}\end{array}\right.$，
故直線CE的解析式為：y=4x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6}\\{{y}_{1}=21}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
則E點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，21），
故m的取值范圍是：m＞6，
綜上所述：1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．
故答案為：y=x²-2x-3；1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應(yīng)用以及二次函數(shù)綜合以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)求法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．