Question

如圖，已知等邊△OAB的邊長為32，以AB邊上的高OA₁為邊，按逆時針方向作等邊△OA₁B₁，A₁B₁與OB相交于點A₂，再以O(shè)A₂為邊按逆時針方向作等邊△OA₂B₂，A₂B₂與OB₁相交于點A₃，按此作法進(jìn)行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…，△OA_nB_n
（1）求線段OA₁，OA₂的長；
（2）寫出線段OA₃，OA₄，OA₅的長．你能用一句話或一個等式描述出△OAB，△OA₁B₂，…，△OA_nB_n邊長之間的關(guān)系嗎？
（3）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求△OA₆B₆的周長和面積．

Answer 1

考點：勾股定理,等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：（1）在等邊三角形中，由勾股定理可求得其一邊上的高與邊長的關(guān)系，
（2）根據(jù)其一邊上的高與邊長的關(guān)系得出邊長，即可得出三角形的周長，
（3）根據(jù)前面得出的結(jié)果找出圖形的變化規(guī)律即可求解．

解答：解：（1）OA₁=16

3

；OA₂=24；
（2）OA₃=12

3

，OA₄=18，OA₅=9

3

；邊長的關(guān)系OA_n=

3

2

OA_n-1
（3）因為OA₁=

3

2

OA，OA₂的=（

3

2

）²OA，…OA₆=（

3

2

）⁶，所以周長=3OA₆=

81

2

；
所以面積=

1

2

×OA₆•

3

2

OA₆=

729 3

16

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，是找規(guī)律題，找到第n個等邊三角形的邊長與前一個等邊三角形的邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，難度較大．