Question

8．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A，B和C的距離分別為$\sqrt{10}$，1，2$\sqrt{2}$，△ABP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△CBP′，連結(jié)PP′，并延長(zhǎng)BP與DC相交于點(diǎn)Q，則∠CPQ的大小為45（度）

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△APB≌△CP′B，則有PB=P′B=1、∠PBA=∠P′BC、PA=P′C=$\sqrt{10}$，繼而可得∠P′BC+∠PBC=90°、∠BPP′=45°、PP′=$\sqrt{2}$，再根據(jù)勾股定理逆定理可得△PCP′為直角三角形且∠CPP′=90°，即可得答案．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△APB≌△CP′B，
∴PB=P′B=1，∠PBA=∠P′BC，PA=P′C=$\sqrt{10}$，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠PBA+∠PBC=90°，
∴∠P′BC+∠PBC=90°，即∠PBP′=90°，
∴△PBP′為等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，PP′=$\sqrt{P{B}^{2}+P′{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵PP′²+PC²=2+8=10=P′C²，
∴△PCP′為直角三角形，且∠CPP′=90°，
∴∠CPQ=180°-∠BPP′-∠CPP′=45°，
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等及勾股定理逆定理得出兩直角三角形是解題的關(guān)鍵．