Question

16．已知a，b，c均為正數(shù)，函數(shù)y=$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{^{2}+（c-x）^{2}}$的極小值為$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$．

Answer 1

分析 由于y=$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{^{2}+（c-x）^{2}}$y=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$，設(shè)點(diǎn)M（x，0），A（0，a），B（c，-b），于是得到y(tǒng)$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$=|MA|+|MB|，即表示x軸上動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之和，于是當(dāng)三點(diǎn)A，M，B共線時(shí)，距離之和取得最小值，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵y=$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{^{2}+（c-x）^{2}}$y=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$，
設(shè)點(diǎn)M（x，0），A（0，a），B（c，-b），
∴$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$=|MA|，
 $\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$=|MB|，
∴y$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$=|MA|+|MB|，
即表示x軸上動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之和，
∵a，b，c均為正數(shù)，
∴A在y軸的正半軸，B在第四象限，
∴當(dāng)三點(diǎn)A，M，B共線時(shí)，距離之和取得最小值，
即|MA|+|MB|≥|AB|=√[（a-c）²+b²]，
∴y的最小值為$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$．
故答案為：$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，知道把求函數(shù)y=$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{^{2}+（c-x）^{2}}$的極小值轉(zhuǎn)化為求距離之和的最小值是解題的關(guān)鍵．