Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點G，過D作⊙O的切線EF，交AB的延長線于點F，交AC于點E．
（1）求證：BD=CD；
（2）若AE=6，BF=4，求⊙O的半徑；
（3）在（2）條件下判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得出∠ADB=90°，再由等腰三角形的三線合一性質即可得出結論．
（2）推出△FOD∽△FAE，得出比例式，即可求出半徑．
（3）求出∠F=30°，求出∠BOD=60°，得出等邊三角形OBD，推出∠ABC=60°，根據(jù)等邊三角形判定推出即可．

解答 （1）證明：連接AD，如圖所示：
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）解：設⊙O的半徑是R，則FO=4+R，F(xiàn)A=4+2R，OD=R，
連接OD，如圖所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{FO}{FA}$，
∴$\frac{R}{6}=\frac{4+R}{4+2R}$，
即R²-R-12=0，
∵R為半徑，
∴R=4，R=-3（舍去），
即⊙O的半徑是4．
（3）△ABC是等邊三角形；理由：
∵EF是⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∵FO=4+4=8，OD=4，
∴∠F=30°，
∴∠FOD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC是等邊三角形．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了相似三角形的性質和判定、切線的性質、等邊三角形的性質和判定、圓周角定理、平行線性質、等腰三角形性質的應用等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）中需要通過作輔助線證明三角形相似才能得出結果．