Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過兩點(diǎn)A（-1，1），B（2，2）．過點(diǎn)B作BC∥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．
（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若拋物線上存在點(diǎn)M，使得△BCM的面積為$\frac{7}{2}$，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）連接OA、OB、OC、AC，在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得△AOC與△OBN相似（邊OA與邊OB對應(yīng)）的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，1），B（2，2）代入y=ax²+bx求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x，由于BC∥x軸，設(shè)C（x₀，2）．于是得到方程$\frac{2}{3}$x₀²-$\frac{1}{3}$x₀=2，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)△BCM邊BC上的高為h，根據(jù)已知條件得到h=2，點(diǎn)M即為拋物線上到BC的距離為2的點(diǎn)，于是得到M的縱坐標(biāo)為0或4，令y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x=0，或令y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x=4，解方程即可得到結(jié)論；
（3）解直角三角形得到OB=2$\sqrt{2}$，OA=$\sqrt{2}$，OC=$\frac{5}{2}$，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=$\frac{3}{4}$①如圖1，當(dāng)△AOC∽△BON時(shí)，求得ON=2OC=5，過N作NE⊥x軸于E，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OE=4，NE=3，于是得到結(jié)果；②如圖2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BN=2OC=5，過B作BG⊥x軸于G，過N作x軸的平行線交BG的延長線于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）把A（-1，1），B（2，2）代入y=ax²+bx得：$\left\{\begin{array}{l}{1=a-b}\\{2=4a+2b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x，
∵BC∥x軸，
設(shè)C（x₀，2）．
∴$\frac{2}{3}$x₀²-$\frac{1}{3}$x₀=2，解得：x₀=-$\frac{3}{2}$或x₀=2，
∵x₀＜0，
∴C（-$\frac{3}{2}$，2）；

（2）設(shè)△BCM邊BC上的高為h，
∵BC=$\frac{7}{2}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}×\frac{7}{2}$•h=$\frac{7}{2}$，
∴h=2，點(diǎn)M即為拋物線上到BC的距離為2的點(diǎn)，
∴M的縱坐標(biāo)為0或4，令y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x=0，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，
∴M₁（0，0），M₂（$\frac{1}{2}$，0），令y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x=4，
解得：x₃=$\frac{1+\sqrt{97}}{4}$，x₄=$\frac{1-\sqrt{97}}{4}$
，∴M₃（$\frac{1+\sqrt{97}}{4}$，4），M₄（$\frac{1-\sqrt{97}}{4}$，4），
綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，0），（$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{1+\sqrt{97}}{4}$，4），（$\frac{1-\sqrt{97}}{4}$，4）；

（3）∵A（-1，1），B（2，2），C（-$\frac{3}{2}$，2），D（0，2），
∴OB=2$\sqrt{2}$，OA=$\sqrt{2}$，OC=$\frac{5}{2}$，
∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=$\frac{3}{4}$，
①如圖1，當(dāng)△AOC∽△BON時(shí)，$\frac{AO}{BO}=\frac{OC}{ON}$，∠AOC=∠BON，
∴ON=2OC=5，
過N作NE⊥x軸于E，
∵∠COD=45°-∠AOC=45°-∠BON=∠NOE，
在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD=$\frac{3}{4}$，
∴OE=4，NE=3，
∴N（4，3）同理可得N（3，4）；
②如圖2，當(dāng)△AOC∽△OBN時(shí)，$\frac{AO}{OB}=\frac{OC}{BN}$，∠AOC=∠OBN，
∴BN=2OC=5，
過B作BG⊥x軸于G，過N作x軸的平行線交BG的延長線于F，
∴NF⊥BF，
∵∠COD=45°-∠AOC=45°-∠OBN=∠NBF，
∴tan∠NBF=tan∠COD=$\frac{3}{4}$，
∴BF=4，NF=3，
∴N（-1，-2），同理N（-2，-1），
綜上所述：使得△AOC與△OBN相似（邊OA與邊OB對應(yīng)）的點(diǎn)N的坐標(biāo)是（4，3），（3，4），（-1，-2），（-2，-1）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用，難度較大，解答本題需要同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關(guān)性質(zhì)．