Question

1．如圖，BC是半⊙O的直徑，點P是半圓弧的中點，點A是弧BP的中點，AD⊥BC于D，連結AB、PB、AC，BP分別與AD、AC相交于點E、F．
（1）求證：AE=BE；
（2）判斷BE與EF是否相等嗎，并說明理由；
（3）小李通過操作發(fā)現(xiàn)CF=2AB，請問小李的發(fā)現(xiàn)是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請寫出CF與AB正確的關系式．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AP，由BC是半⊙O的直徑，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根據(jù)圓周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出結論；
（2）根據(jù)圓周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，連接AP，
∵BC是半⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵點A是弧BP的中點，
∴∠P=∠ACB=∠ABP，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）BE=EF，
理由是：∵BC是直徑，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A為弧BP中點，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；

（3）小李的發(fā)現(xiàn)是正確的，
理由是：如圖2，延長BA、CP，兩線交于G，
∵P為半圓弧的中點，A是弧BP的中點，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCF=∠PBG}\\{PC=BP}\\{∠CPF=∠BPG}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC為直徑，
∴∠BAC=°，
∵A為弧BP中點，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAB=∠CAG}\\{AC=AC}\\{∠BCA=∠GCA}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=$\frac{1}{2}$BG，
∴CF=2AB．

點評 本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關系，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．