Question

13．如圖，直線y=7x+7交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．
（1）S_△AOB；
（2）第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形且∠ACB=90°？若存在，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)，進(jìn)而求出OA與OB的長(zhǎng)，即可求出三角形AOB面積；
（2）第一象限內(nèi)存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形且∠ACB=90°，理由為：設(shè)C（x，y）（x＞0，y＞0），根據(jù)題意得BC²=AC²，BC²+AC²=AB²，列出關(guān)于x與y的方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出C坐標(biāo)．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=7x+7，
令x=0，得到y(tǒng)=7；令y=0，得到x=-1，
∴A（-1，0），B（0，7），即OA=1，OB=7，
則S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{7}{2}$；
（2）第一象限內(nèi)存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形且∠ACB=90°，理由為：
設(shè)C（x，y）（x＞0，y＞0），
根據(jù)題意得：BC²=AC²，BC²+AC²=AB²，即$\left\{\begin{array}{l}{（-1-x）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+（y-7）^{2}}\\{（-1-x）^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}+（y-7）^{2}={1}^{2}+{7}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
此時(shí)C（3，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．