Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，且∠B=90°，該四邊形存在內(nèi)切圓嗎？如果存在，請(qǐng)計(jì)算內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專(zhuān)題：存在型

分析：連結(jié)AD，作∠ABC的平分線交AC于O，作OH⊥BC于H，如圖，易證得△ABC≌△ADC，則∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，所以AC平分∠BAC和∠BCD，加上OB平分∠ABC，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到點(diǎn)O到四邊形ABCD的各邊的距離相等，則可判斷四邊形ABCD存在內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心為點(diǎn)O，半徑為OH，接著證明△OBH為等腰直角三角形得到OH=BH，設(shè)OH=r，則BH=r，CH=8-r，然后證明△COH∽△CAB，利用相似比可計(jì)算出r．

解答：解：存在．
連接AC，作∠ABC的平分線交AC于O，作OH⊥BC于H，如圖，
在△ABC和△ADC中，

AB=AD CB=CD AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∴AC平分∠BAD和∠BCD，
∵OB平分∠ABC，
∴點(diǎn)O到四邊形ABCD的各邊的距離相等，
∴四邊形ABCD存在內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心為點(diǎn)O，半徑為OH，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBH=45°，
∴△OBH為等腰直角三角形，
∴OH=BH，
設(shè)OH=r，則BH=r，CH=8-r，
∵OH∥AB，
∴△COH∽△CAB，
∴

OH

AB

=

CH

CB

，即

r

6

=

8-r

8

，
∴r=

24

7

，
即四邊形ABCD的內(nèi)切圓的半徑為

24

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了角平分線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．